疎行列を係数とする線形方程式の反復解法と精度保証付き数値計算法の融合

疎行列を係数とする連立一次方程式の精度保証付き数値計算を行うことを目標としている．このためには，係数行列の逆行列の最大値ノルムの上限値が必要であり，これがあれば精度保証は行列サイズの2乗の計算コストで実行可能となる．反復解法に用いる疎行列のデータセットして高名なSuiteSparse Matrix Collectionにある1000以上の行列に対して，逆行列の最大値ノルムの上限を求めることができ，データをweb上に公開した（https://www.mathsci.shibaura-it.ac.jp/ozaki/smc_norminf.html）．これは研究期間全体の目標である行列数の半数を取り扱えたことになる．Rumpによるノルムの精度保証法に加えて高精度計算を適用することにより，ノルムの上限の過大評価を抑えることができ，中には正確な逆行列のノルムや，浮動小数点数として最良な結果を得ることもできた行列もある．これらのデータを活用し，疎行列の精度保証付き数値計算が効率よく実行できること，また残差反復を用いた精度保証付き数値計算は誤差の過大評価を極めて抑え，真の解を包含できることを学会で報告した．特に，近似計算を行う計算時間よりも過大評価のない誤差上限を得るための計算時間が短い例も紹介することができた．また，反復解法における収束性には，行列の固有値が重要であることも知られている．真の固有値を事前に設定することで，反復解法の収束履歴の挙動が正確に把握でき，理論と実践のギャップを調べることができる．よって真の固有値が事前にわかる行列の生成法を開発した．特に，反復解法の解析において重要な複素固有値を持つ実疎行列について，生成法を新しく提案でき，成果を論文として投稿した．以上より，研究初年度は順調に研究を進めることができた．